迈向希尔伯特第12问

  

1900年,德国数学家希尔伯特在第二届国际数学家大会上挑出了23个题目,这些题目几乎成为引领20世纪数学钻研的纲领。百年以前,这23问中有一些已经得到解决,有些取得长足的挺进,还有一片面十足异国解决。今年3月,两位印度数学家发外了他们关于希尔伯特第12问的最新钻研,即关于数域上阿贝尔域膨胀的组织题目,为这一题目的解决带来了曙光。实际上,关于数域膨胀的钻研已有近200年。本文将一连着这沿路旅程,见证数学史上的远大人物是如何一次又一次接过接力棒,迈向希尔伯特第12问。

撰文 | 张和持数论,之因此被称为数学头顶最鲜艳的王冠,是由于几乎所有数学的分支都能够用来处理数论题目。而其中最为主流的代数数论,便是从抽象代数组织的视点来分析数域的代数性质。代数学首源于对多项式方程的钻研,解方程则对答着数域的膨胀。这就使得数学家关注的重心从方程本身,迁移到对域膨胀的钻研。其中最主要的一类膨胀,称为阿贝尔膨胀;这个概念在著名的希尔伯特23问中占据一席,第12问即是关于有理数域上阿贝尔膨胀的组织方法是否能够拓展到其他数域。数学家在比来这一百年已经对阿贝尔膨胀的性质有了专门深入的意识。倘若能找到阿贝尔膨胀的组织方法,就能拆解开数域奥秘的外壳,理解其中运走的机制。

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青年克罗内克的梦想吾们的故事最先于约两百年前的普鲁士王国。1823年,居住在李格尼茨(Liegnitz)的犹太人克罗内克(Kronecker)一家诞生了一个智慧的男孩,男孩名叫利奥波德(Leopold)。他所滋长的这个城市历史悠久,从希腊时代首,便有人在此定居,此后数千年,它见证了宗教的崛首,骑士的衰亡。数十年前,腓特烈大帝正是在此以少胜多,大败奥地利与俄国的联军。到了十九世纪,硝烟逐渐被冲淡,留下历史的厚重。也许是来自环境的熏陶,年小的利奥波德·克罗内克对周围的总共产生了益奇。他喜欢益科学、历史与形而上学,同时照样别名游泳健将。他的父母对哺育极为偏重,使他的这些喜欢益都得到了发扬。到了中学时代,他遇到了他的恩师与一生的友人恩斯特·库默尔(Ernst Kummer)。行为别名年轻的数学家,库默尔在代数与数论等周围已小有收获。他提出克罗内克深入学习数学。不过克罗内克此时还异国下定信念专一于数学。此后的几年中,他迂回于柏林大学、波恩大学等私塾,有趣使然地学习形而上学、天文学与数学。卒业后,他返回家乡管理家业,投资经商;直到数年之后重返学术界,此时已经拥有了相等的家产。

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利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker,1823-1891)经商期间,克罗内克也异国芜秽数学的学习。不过对于他来说,数学属于忙了镇日之后的消遣。他和库默尔的通讯也异国休止。固然详细内容大多不得而知,但在此期间他们答该取得了一些收获。而当克罗内克重返江湖时,他很快就成为了那时欧洲顶尖的数学家。正是在克罗内克迂回肄业这几年,法国数学家约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville)未必挖掘出埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois)关于代数方程组的遗稿,使得伽罗瓦关于域膨胀的工行为其他数学家所知。所谓域膨胀,就是相通有理数域 扩大到复数域 的过程。吾们通俗把这二者及其之间的所有域称为数域。伽罗瓦的做事将域膨胀与群论相关首来,他指出每个域膨胀都对答于一个群。浅易来说,域就是已足添减乘法,且只要不是除以 ,都能够做除法;而群则是对所有元素有乘法和除法。比如说对于域 与它的域膨胀 ,吾们就取所有 的置换,其中保持 不变的自同态映射(保持乘法组织的置换,也就是说乘积的映射等于映射的乘积)构成一个群,置换的叠添行为群的乘法,而置换总是有反变换的,因此也有除法。如许的群称为伽罗瓦群 。伽罗瓦发现方程的根式解存在性对答于伽罗瓦群的可解性,从而彻底解决了代数方程根式解的题目。(关于伽罗瓦理论可参见《伽罗瓦理论原形想干什么?》)那么也就是说,要钻研域膨胀,很多时候都只必要钻研响答的伽罗瓦群就走了。而在各栽各样的群当中,钻研首来最方便的当属阿贝尔群。所谓阿贝尔群,就是那些元素之间已足乘法交换律 的群 。每个数学本科生也许都曾被如许简洁的定理所感动:肆意有限生成的阿贝尔群,都能够被唯一分解为素数阶循环群的直和;而这边的循环群,则是最为浅易的群:即使是异国受过数学训练,对群论知之甚少的读者,也能够也许如许理解:吾们对于阿贝尔群基本上知根知底。那么要是能将阿贝尔群的知识行使于响答的域膨胀,即阿贝尔膨胀,那想必会带来更多美妙的效果。年轻的克罗内克也痴迷于伽罗瓦理论带来的汜博世界。他并不觉得五次方程可解性题目就是群论与域论的尽头。相背,对于域膨胀的追求才刚刚最先。他很快就仔细到了一些与阿贝尔膨胀相关的奇怪形象。最浅易的高次多项式方程,自然就是 如许,它有 个解,为 ,分布在复数平面的单位圆上。如下图就是 的所有解。

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倘若要从有理数域 最先膨胀,使得 的所有根都包含在扩域之中,如许的域叫作分圆域;相等于去 内里增补了 之后得到的最小的域,写作 。对于肆意多项式,也能够做如许的操作,所得的扩域叫作破碎域。分圆域对答的伽罗瓦群正是一个相等浅易的阿贝尔群: ,即模 等价类中,与 互素的数构成的乘法群。克罗内克发现了一个微妙的形象:倘若从 最先做肆意阿贝尔膨胀,那么扩域 犹如总是包含在某个分圆域中!但要真实表明这一结论,却难得重重。很长时间,克罗内克都不及得到完善的思路。他在晚年与戴德金(Richard Dedekind)的通信中挑到,解决这一题目是他“青年时代最为炎切的梦想”(liebster Jugendtraum)。1853年,克罗内克发外了他对这一结论的表明。遗憾的是,他的方法并不是对所有阿贝尔膨胀都适用。这一舛讹很快就被指出,但是克罗内克本人也并异国想出别的办法。一向到1886年,海因里希·马丁·韦伯(Heinrich Martin Weber)才给出了新的表明,并被大无数人批准。1891年,克罗内克与世长辞,也许他已经已足于这个效果。一向到100年后的1981年,才有数学家发现,韦伯的表明包含了一些舛讹,因此也不及成立。自然,它最后照样被表清新。吾们今天称之为克罗内克-韦伯定理的结论,其实是由希尔伯特表明的。

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希尔伯特与世纪之交的代数数论正如同克罗内克的故乡,现在已经被划为波兰的领土;希尔伯卓异生的城市柯尼斯堡,也在二战之后成为苏联的一片面,改名叫添里宁格勒。在希尔伯特成长的年代,柯尼斯堡仍是一座传统的德国城市,人们以康德为荣,崇尚思考的艺术。而希尔伯特也很早发现了本身对于数学的炎衷,走上了数学了道路。他四处游历,接收新思维,成为欧洲数学的新星。

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大卫·希尔伯特(David Hilbert,1862-1943)19世纪末,数学发生了翻天覆地的转折,其钻研方法的厉格性,抽象性都经历了质的飞跃。希尔伯特自然也探看了那时年高德劭的克罗内克。不过他惊讶地发现,克罗内克对于新的数学并异国太大有趣:他指斥康托尔的荟萃论,也对非组织的代数表明法持保留偏见。几年之后,克罗内克与世长辞,在他物化后的1896年,希尔伯特给出了他对于克罗内克-韦伯定理的表明。此时数学家们还异国发现韦伯表明中的舛讹,而希尔伯特本人也认为,本身只是给出了一个较为浅易的证法而以。不过现在看来,是希尔伯特最先表清新这个定理。但是希尔伯特并异国止步于此。克罗内克思考的题目仅仅是有理数域 的膨胀,那对于别的数域呢?这一题目即是希尔伯特23个题目中第12个题目的原型。到希尔伯专程止,对于数域的钻研已经进走了近百年。数学家们稀奇关心的数域是代数数域:比如说 ,内里任何一个元素,例如 ,都是某一个多项式的根,这边就是 的根。代数数域是代数对象,而多项式则是数论的钻研对象,如此催生了代数数论这一门“交叉学科”,数学家们为了钻研代数数域的性质而踏上了激动人心的旅程。高斯,库默尔,克罗内克等人都钻研过代数数域,得到了一些初步的效果。希尔伯特深入钻研了一栽情况:所谓的虚二次域 ,其中 为复数。他犹如发现虚二次域的阿贝尔膨胀能够议定椭圆模函数来生成。希尔伯特在1900年的巴黎会议上发外了他著名的23个题目。由于时间相关,他只在现场叙述了其中的10个,关于数域的阿贝尔膨胀的题目并异国包含在这10个当中。吾们今天读到的希尔伯特第12问,是会议之后发外的。这个题目描述相等暧昧,欧宝首页而且会产生不少误导——后来数学家们表明,虚二次域的阿贝尔膨胀与椭圆模函数其实并异国多大相关。即便如此,希尔伯特的思考照样产生了主要的影响。希尔伯特的思考并不是孤立的。他同时也在钻研阿贝尔膨胀的性质。由欧拉、高斯等先贤开创的对二次互反律的钻研,在希尔伯特这边有了更添当代的样式。他发现,这些性质内心上都与阿贝尔膨胀相关,并挑出了一系列推想。此时希尔伯特任教的哥廷根大学正如日中天,汇聚了来自世界各地的青年才俊。其中有一小我沿着希尔伯特的推想走了下去,他就是日本当代数学的先驱——高木贞治。

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高木贞治(Teiji Takagi,1875-1960)十九世纪末的日本正受到西方雅致的剧烈冲击。江户时代的本土数学流派“和算”曾大放异彩,但到了明治维新之前,已然衰亡了。在周详学习西方的浪潮下,日本竖立了一系列“帝国大学”,亲喜欢数学的高木贞治便进入了其中最富盛名的东京帝国大学。这所大学在此后的一百年会源源不息地教育顶尖数学家,不过在高木贞治的门生时代,还并异国领先世界的钻研。他在卒业后,前去德国深造,曾在柏林批准过佛罗贝尼乌斯(Ferdinand Georg Frobenius)等人的哺育,最后来到哥廷根,深感本身弗如希尔伯特远甚。最后他在希尔伯特门下获得了博士学位,卒业后回到东京帝国大学任教。在一战的疯狂岁月中,高木专一钻研希尔伯特的代数数论。他于1920年发外了著名的高木存在定理,将阿贝尔膨胀与基域的理想类群之间竖立首了深切相关。这项做事被埃米尔·阿廷(Emil Artin)等数学家发扬光大,从此一门被称为类域论的钻研诞生,这套理论已经能相等完善地处理阿贝尔膨胀。今天每别名想要学习代数数论的钻研生都必要学习高木的理论,所有这些做事都只对阿贝尔膨胀有效,能够想见阿贝尔膨胀的主要性。但是对希尔伯特第12问本身而言,挺进照样极为缓慢,还必要新的思维、新的工具。

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函数与 -进数带来的新数学纳粹的栽族政策让欧洲数学家大批侨民,,哥廷根学派也因此一蹶不振。诺特(Emmy Noether),柯朗(Richard Courant),外尔(Hermann Weyl)等巨擘前去新大陆,这也使美国在二战后成为了世界数学的中央。世界发生了翻天覆地的转折,新的数学也迎来了早晨。算术几何,同调代数等新兴学科为代数数论注入了稀奇的血液,而希尔伯特第12问也产生了分歧的分支倾向。既然希尔伯特对虚二次域的商议走向了死路,数学家们就只益重新搜索思路。希尔伯特的最后现在的,是要组织肆意域的阿贝尔膨胀。但一次性给出普适的效果实在是不太实际,因此希尔伯特本人也只能从虚二次域着手。如许,对希尔伯特第12问的钻研,就只能从特定方法与特定的域着手。比如志村五郎和谷山丰的做事引向了对CM域的钻研;而朗兰兹(Robert Langlands)则在他那著名的纲领中挑议,答该着手于某栽 函数。不过吾们今天要讲的是另外一条线。美国数学家斯塔克(Harold Stark)于 上世纪70 年代挑出了一栽推想,他发现阿贝尔膨胀也许能议定阿廷 函数来组织。所谓 函数,是形如的级数,比如说黎曼 函数 ,定义在复平面上。如许的级数平时只在半平面上拘谨,例如定义黎曼 函数的这个级数只对于 的实部大于 时拘谨。而议定一栽称为解析延拓的方法,能够将可导(复的可导就是解析)的函数定义域扩大到任何不是奇点的位置。如许就能够定义多多各不相通又各有所用的 函数,而阿廷 函数便是其中一栽。早在19世纪,迪利克雷(Peter Dirichlet)和黎曼(Bernhard Riemann)就对此做了一些奠基性钻研,他们发现 函数与数论之间存在浓重的相关,那么它能行使于希尔伯特之问也就异国那么不测了。这犹如相比希尔伯特最早的题目而言,详细了很多,也能进走数值计算。不过对于表明逻辑而言却异国挑供多少思路。到此为止,数学家们都试图在复数域 中解决这个题目,他们思考的数域,也都是复数的子域。不过这并不是唯一的数域。二十世纪中叶,数学家们逐渐仔细到 -进数的主要性。要理解 -进数,吾们必要先看看 是怎么膨胀的。 ,由于根号2不及写作两个整数的商。那么根号二原形是什么呢?它其实是一个数列它已足所谓的柯西拘谨准则,即当项数有余大时,肆意两项之差有余小。因此根号2就是一个柯西列,拘谨于 。吾们就能够直接把 等同于上述这个数列。自然,能够会有两个序列拘谨于联相符个数,那样就定义两个数列等价。而所谓的 ,其实就是所有柯西列的荟萃。柯西列之间也能够添减乘除,因此 构成一个域。上述过程称为齐全化: 固然是浓重的,但其中却存在“小洞”,而膨胀到 则填满了这些“洞”。那么给 “填坑”的这个操作是否是唯一的呢?吾们仔细不都雅察,填坑的过程取决于柯西列的定义,而柯西列又请求数列着末的项之间距离要小。什么是距离小?吾们平庸所用的距离,称为绝对值距离 。距离的定义必要已足几条正义,不过这对于理解距离并不主要。主要的是,并不是非得如许定义距离。倘若吾们定义任何两个分歧点之间的距离 ,这也是一栽(清淡的)距离定义。

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库尔特·亨泽尔(Kurt Hensel,1861-1941)德国数学家亨泽尔(Kurt Hensel)于 1897 年试图将幂级数的思维引入到数论中,而创造了 进数的概念。这是一栽新的距离定义,对于素数 和有理数 ,定义 -进赋值其中 是指 的素数分解中 的次数。而距离则定义为也就是说,对于两个整数,倘若他们的差包含 的更高次方的因子,那么他们的距离就越近。如许相等于将整数的同余性质变成了一栽分析性质。按如许的距离,取柯西列,得到的齐全化就是 -进数域 了。倘若 不是素数,其实也能够进走齐全化,但是得到的荟萃就不再是域了。-进数与实数相通,都能够在上面做极限、做微积分,整套分析理论都能够搬以前。亨泽尔把库默尔的一些做事翻译成了 -进数说话,但并异国得到真实深切的结论。他的钻研也在很长时间内异国受到偏重。1964年,日本数学家久保田富雄与德国数学家海因里希-沃夫冈·利奥波德(Heinrich Wolfgang Leopold)最先组织了一个 -进 函数。这一思路为解析数论和代数数论带来了有力的工具。那么是否有能够议定 -进 函数来实现斯塔克的推想呢?格罗斯(Benedict Gross)正是这么想的。他试图将斯塔克的推想放到 -进数域中来考虑。一最先这看首来跟史塔克的推想难度相等,但是经过一代又一代的接力,现在已经取得了壮大突破。2021年三月,两名印度数学家,Samit Dasgupta 和 Mahesh Kakde 发外了他们对希尔伯特第12问的片面回答。他们行使 -进 函数解决了全实域上阿贝尔膨胀的组织题目。所谓全实域,就是说当吾们把这个域嵌入到 中,它必定是实数域的子域。这是一栽比较容易处理的域,但对于他们所钻研的题目而言也极为难得。两名数学家的学术生涯基本上都在跟这个题目打交道。其中 Dasgupta 的导师的导师,正是格罗斯。他从博士最先就在钻研格罗斯的题目,直到去年,他们才取得了关键突破。现在,这段旅程终于迎来里程碑,人类对于阿贝尔膨胀的理解又向前迈进了一步。这项收获不光来自两人的配相符,也来自几代数学家不懈的勤苦。不过,希尔伯特的题目照样异国十足得到回答。希尔伯特挑出的题目,是竖立在他本身对虚二次域钻研上的。 上的 函数,是否能得到与 相通的效果呢?吾们不得而知。同时,全实域也仅仅是一类稀奇的数域。

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Samit Dasgupta

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Mahesh Kakde今天的数学已经超越了希尔伯特的期看,但又异国十足达到他的憧憬。不过这也正是数学的魅力所在:吾们永世无法展望下一个突破将在那里展现。

参考文献

[1] Houston-Edwards, Kelsey (2021-05-25). "Mathematicians Find Long-Sought Building Blocks for Special Polynomials". Quanta Magazine.

[2] Schappacher, Norbert (1998). "On the history of Hilbert's twelfth problem: a comedy of errors". Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XXe siècle (Nice, 1996). Sémin. Congr. 3. Paris: Société Mathématique de France. pp. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1. MR 1640262. Zbl 1044.01530. ,

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